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https://github.com/nganhkhoa/CTF-All-In-One.git
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# Z3 约束求解器
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- [安装](#安装)
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- [Z3 理论基础](#z3-理论基础)
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- [使用 Z3](#使用-z3)
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- [Z3 在 CTF 中的运用](#z3-在-ctf-中的运用)
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- [参考资料](#参考资料)
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[Z3](https://github.com/Z3Prover/z3) 是一个由微软开发的可满足性摸理论（Satisfiability Modulo Theories，SMT）的约束求解器。所谓约束求解器就是用户使用某种特定的语言描述对象（变量）的约束条件，求解器将试图求解出能够满足所有约束条件的每个变量的值。Z3 可以用来检查满足一个或多个理论的公式的可满足性，也就是说,它可以自动化地通过内置理论对一阶逻辑多种排列进行可满足性校验。目前其支持的理论有：
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- equality over free 函数和谓词符号
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- 实数和整形运算(有限支持非线性运算)
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- 位向量
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- 阵列
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- 元组/记录/枚举类型和代数（递归）数据类型
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- ...
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因其强大的功能，Z3 已经被用于许多领域中，在安全领域，主要见于符号执行、Fuzzing、二进制逆向、密码学等。另外 Z3 提供了多种语言的接口，这里我们使用 Python。
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## 安装
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在 Linux 环境下，执行下面的命令：
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```
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$ git clone https://github.com/Z3Prover/z3.git
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$ cd z3
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$ python scripts/mk_make.py --python
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$ cd build
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$ make
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$ sudo make install
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```
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另外还可以使用 pip 来安装 Python 接口（py2和py3均可），这是二进制分析框架 angr 里内置的修改版：
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```
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$ sudo pip install z3-solver
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```
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## Z3 理论基础
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| Op | Mnmonics | Description |
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| --- | --- | --- |
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| 0 | true | 恒真 |
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| 1 | flase | 恒假 |
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| 2 | = | 相等 |
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| 3 | distinct | 不同 |
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| 4 | ite | if-then-else |
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| 5 | and | n元 合取 |
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| 6 | or | n元 析取 |
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| 7 | iff | implication |
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| 8 | xor | 异或 |
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| 9 | not | 否定 |
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| 10 | implies | Bi-implications |
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## 使用 Z3
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先来看一个简单的例子：
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```python
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>>> from z3 import *
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>>> x = Int('x')
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>>> y = Int('y')
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>>> solve(x > 2, y < 10, x + 2*y == 7)
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[y = 0, x = 7]
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```
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首先定义了两个常量 x 和 y，类型是 Z3 内置的整数类型 `Int`，`solve()` 函数会创造一个 solver，然后对括号中的约束条件进行求解，注意在 Z3 默认情况下只会找到满足条件的一组解。
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```python
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>>> simplify(x + y + 2*x + 3)
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3 + 3*x + y
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>>> simplify(x < y + x + 2)
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Not(y <= -2)
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>>> simplify(And(x + 1 >= 3, x**2 + x**2 + y**2 + 2 >= 5))
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And(x >= 2, 2*x**2 + y**2 >= 3)
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>>>
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>>> simplify((x + 1)*(y + 1))
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(1 + x)*(1 + y)
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>>> simplify((x + 1)*(y + 1), som=True) # sum-of-monomials：单项式的和
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1 + x + y + x*y
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>>> t = simplify((x + y)**3, som=True)
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>>> t
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x*x*x + 3*x*x*y + 3*x*y*y + y*y*y
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>>> simplify(t, mul_to_power=True) # mul_to_power 将乘法转换成乘方
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x**3 + 2*y*x**2 + x**2*y + 3*x*y**2 + y**3
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```
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`simplify()` 函数用于对表达式进行化简，同时可以设置一些选项来满足不同的要求。更多选项使用 `help_simplify()` 获得。
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同时，Z3 提供了一些函数可以解析表达式：
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```python
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>>> n = x + y >= 3
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>>> "num args: ", n.num_args()
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('num args: ', 2)
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>>> "children: ", n.children()
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('children: ', [x + y, 3])
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>>> "1st child:", n.arg(0)
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('1st child:', x + y)
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>>> "2nd child:", n.arg(1)
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('2nd child:', 3)
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>>> "operator: ", n.decl()
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('operator: ', >=)
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>>> "op name: ", n.decl().name()
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('op name: ', '>=')
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```
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`set_param()` 函数用于对 Z3 的全局变量进行配置，如运算精度，输出格式等等：
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```python
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>>> x = Real('x')
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>>> y = Real('y')
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>>> solve(x**2 + y**2 == 3, x**3 == 2)
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[x = 1.2599210498?, y = -1.1885280594?]
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>>>
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>>> set_param(precision=30)
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||
>>> solve(x**2 + y**2 == 3, x**3 == 2)
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[x = 1.259921049894873164767210607278?,
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y = -1.188528059421316533710369365015?]
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```
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逻辑运算有 `And`、`Or`、`Not`、`Implies`、`If`，另外 `==` 表示 Bi-implications。
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```python
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>>> p = Bool('p')
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>>> q = Bool('q')
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>>> r = Bool('r')
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>>> solve(Implies(p, q), r == Not(q), Or(Not(p), r))
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[q = False, p = False, r = True]
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>>>
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>>> x = Real('x')
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>>> solve(Or(x < 5, x > 10), Or(p, x**2 == 2), Not(p))
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[x = -1.4142135623?, p = False]
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```
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Z3 提供了多种 Solver，即 `Solver` 类，其中实现了很多 SMT 2.0 的命令，如 `push`, `pop`, `check` 等等。
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```python
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>>> x = Int('x')
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>>> y = Int('y')
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>>> s = Solver() # 创造一个通用 solver
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>>> type(s) # Solver 类
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<class 'z3.z3.Solver'>
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>>> s
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[]
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>>> s.add(x > 10, y == x + 2) # 添加约束到 solver 中
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>>> s
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[x > 10, y == x + 2]
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>>> s.check() # 检查 solver 中的约束是否满足
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sat # satisfiable/满足
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>>> s.push() # 创建一个回溯点，即将当前栈的大小保存下来
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>>> s.add(y < 11)
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>>> s
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[x > 10, y == x + 2, y < 11]
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>>> s.check()
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unsat # unsatisfiable/不满足
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>>> s.pop(num=1) # 回溯 num 个点
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>>> s
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[x > 10, y == x + 2]
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||
>>> s.check()
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sat
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>>> for c in s.assertions(): # assertions() 返回一个包含所有约束的AstVector
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... print(c)
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...
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x > 10
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y == x + 2
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>>> s.statistics() # statistics() 返回最后一个 check() 的统计信息
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(:max-memory 6.26
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:memory 4.37
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:mk-bool-var 1
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:num-allocs 331960806
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:rlimit-count 7016)
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>>> m = s.model() # model() 返回最后一个 check() 的 model
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>>> type(m) # ModelRef 类
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<class 'z3.z3.ModelRef'>
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||
>>> m
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[x = 11, y = 13]
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||
>>> for d in m.decls(): # decls() 返回 model 包含了所有符号的列表
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... print("%s = %s" % (d.name(), m[d]))
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...
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x = 11
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y = 13
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```
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为了将 Z3 中的数和 Python 区分开，应该使用 `IntVal()`、`RealVal()` 和 `RatVal()` 分别返回 Z3 整数、实数和有理数值。
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```python
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>>> 1/3
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0.3333333333333333
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>>> RealVal(1)/3
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1/3
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>>> Q(1, 3) # Q(a, b) 返回有理数 a/b
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1/3
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>>>
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>>> x = Real('x')
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>>> x + 1/3
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x + 3333333333333333/10000000000000000
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>>> x + Q(1, 3)
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x + 1/3
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>>> x + "1/3"
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x + 1/3
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>>> x + 0.25
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x + 1/4
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>>> solve(3*x == 1)
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[x = 1/3]
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>>> set_param(rational_to_decimal=True) # 以十进制形式表示有理数
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>>> solve(3*x == 1)
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[x = 0.3333333333?]
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```
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在混合使用实数和整数变量时，Z3Py 会自动添加强制类型转换将整数表达式转换成实数表达式。
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```python
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>>> x = Real('x')
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>>> y = Int('y')
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>>> a, b, c = Reals('a b c') # 返回一个实数常量元组
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>>> s, r = Ints('s r') # 返回一个整数常量元组
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>>> x + y + 1 + a + s
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x + ToReal(y) + 1 + a + ToReal(s) # ToReal() 将整数表达式转换成实数表达式
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>>> ToReal(y) + c
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ToReal(y) + c
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```
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现代的CPU使用固定大小的位向量进行算术运算，在 Z3 中，使用函数 `BitVec()` 创建位向量常量，`BitVecVal()` 返回给定位数的位向量值。
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```python
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>>> x = BitVec('x', 16) # 16 位，命名为 x
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>>> y = BitVec('x', 16)
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>>> x + 2
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x + 2
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>>> (x + 2).sexpr() # .sexpr() 返回内部表现形式
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'(bvadd x #x0002)'
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>>> simplify(x + y - 1) # 16 位整数的 -1 等于 65535
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65535 + 2*x
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>>> a = BitVecVal(-1, 16) # 16 位，值为 -1
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>>> a
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65535
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>>> b = BitVecVal(65535, 16)
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>>> b
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65535
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>>> simplify(a == b)
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True
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```
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## Z3 在 CTF 中的运用
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#### re PicoCTF2013 Harder_Serial
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题目如下，是一段 Python 代码，要求输入一段 20 个数字构成的序列号，然后程序会对序列号的每一位进行验证，以满足各种要求。题目难度不大，但完全手工验证是一件麻烦的事，而使用 Z3 的话，只要定义好这些条件，就可以得出满足条件的值。
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```python
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import sys
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print ("Please enter a valid serial number from your RoboCorpIntergalactic purchase")
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if len(sys.argv) < 2:
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print ("Usage: %s [serial number]"%sys.argv[0])
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exit()
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print ("#>" + sys.argv[1] + "<#")
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def check_serial(serial):
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if (not set(serial).issubset(set(map(str,range(10))))):
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print ("only numbers allowed")
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return False
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if len(serial) != 20:
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return False
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if int(serial[15]) + int(serial[4]) != 10:
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return False
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||
if int(serial[1]) * int(serial[18]) != 2:
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||
return False
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||
if int(serial[15]) / int(serial[9]) != 1:
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||
return False
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||
if int(serial[17]) - int(serial[0]) != 4:
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||
return False
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||
if int(serial[5]) - int(serial[17]) != -1:
|
||
return False
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||
if int(serial[15]) - int(serial[1]) != 5:
|
||
return False
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||
if int(serial[1]) * int(serial[10]) != 18:
|
||
return False
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||
if int(serial[8]) + int(serial[13]) != 14:
|
||
return False
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||
if int(serial[18]) * int(serial[8]) != 5:
|
||
return False
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if int(serial[4]) * int(serial[11]) != 0:
|
||
return False
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||
if int(serial[8]) + int(serial[9]) != 12:
|
||
return False
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if int(serial[12]) - int(serial[19]) != 1:
|
||
return False
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||
if int(serial[9]) % int(serial[17]) != 7:
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||
return False
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||
if int(serial[14]) * int(serial[16]) != 40:
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return False
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if int(serial[7]) - int(serial[4]) != 1:
|
||
return False
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if int(serial[6]) + int(serial[0]) != 6:
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return False
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if int(serial[2]) - int(serial[16]) != 0:
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return False
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if int(serial[4]) - int(serial[6]) != 1:
|
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return False
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if int(serial[0]) % int(serial[5]) != 4:
|
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return False
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if int(serial[5]) * int(serial[11]) != 0:
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return False
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if int(serial[10]) % int(serial[15]) != 2:
|
||
return False
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if int(serial[11]) / int(serial[3]) != 0:
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||
return False
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if int(serial[14]) - int(serial[13]) != -4:
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||
return False
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if int(serial[18]) + int(serial[19]) != 3:
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return False
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return True
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if check_serial(sys.argv[1]):
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print ("Thank you! Your product has been verified!")
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else:
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print ("I'm sorry that is incorrect. Please use a valid RoboCorpIntergalactic serial number")
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```
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首先创建一个求解器实例，然后将序列的每个数字定义为常量：
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```python
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serial = [Int("serial[%d]" % i) for i in range(20)]
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```
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接着定义约束条件，注意，除了题目代码里的条件外，还有一些隐藏的条件，比如这一句：
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```python
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solver.add(serial[11] / serial[3] == 0)
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```
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因为被除数不能为 0，所以 `serial[3]` 不能为 0。另外，每个序列号数字都是大于等于 0，小于 9 的。最后求解得到结果。
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完整的 exp 如下，其他文件在 [github](../src/Others/4.5_z3) 相应文件夹中。
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```python
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from z3 import *
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solver = Solver()
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serial = [Int("serial[%d]" % i) for i in range(20)]
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solver.add(serial[15] + serial[4] == 10)
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||
solver.add(serial[1] * serial[18] == 2 )
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||
solver.add(serial[15] / serial[9] == 1)
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||
solver.add(serial[17] - serial[0] == 4)
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||
solver.add(serial[5] - serial[17] == -1)
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||
solver.add(serial[15] - serial[1] == 5)
|
||
solver.add(serial[1] * serial[10] == 18)
|
||
solver.add(serial[8] + serial[13] == 14)
|
||
solver.add(serial[18] * serial[8] == 5)
|
||
solver.add(serial[4] * serial[11] == 0)
|
||
solver.add(serial[8] + serial[9] == 12)
|
||
solver.add(serial[12] - serial[19] == 1)
|
||
solver.add(serial[9] % serial[17] == 7)
|
||
solver.add(serial[14] * serial[16] == 40)
|
||
solver.add(serial[7] - serial[4] == 1)
|
||
solver.add(serial[6] + serial[0] == 6)
|
||
solver.add(serial[2] - serial[16] == 0)
|
||
solver.add(serial[4] - serial[6] == 1)
|
||
solver.add(serial[0] % serial[5] == 4)
|
||
solver.add(serial[5] * serial[11] == 0)
|
||
solver.add(serial[10] % serial[15] == 2)
|
||
solver.add(serial[11] / serial[3] == 0) # serial[3] can't be 0
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||
solver.add(serial[14] - serial[13] == -4)
|
||
solver.add(serial[18] + serial[19] == 3)
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||
|
||
for i in range(20):
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solver.add(serial[i] >= 0, serial[i] < 10)
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||
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||
solver.add(serial[3] != 0)
|
||
|
||
if solver.check() == sat:
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||
m = solver.model()
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for d in m.decls():
|
||
print("%s = %s" % (d.name(), m[d]))
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||
print("".join([str(m.eval(serial[i])) for i in range(20)]))
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||
```
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Bingo!!!
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```
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$ python exp.py
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||
serial[2] = 8
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serial[11] = 0
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serial[3] = 9
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serial[4] = 3
|
||
serial[1] = 2
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serial[0] = 4
|
||
serial[19] = 2
|
||
serial[14] = 5
|
||
serial[17] = 8
|
||
serial[16] = 8
|
||
serial[10] = 9
|
||
serial[8] = 5
|
||
serial[6] = 2
|
||
serial[9] = 7
|
||
serial[5] = 7
|
||
serial[13] = 9
|
||
serial[7] = 4
|
||
serial[18] = 1
|
||
serial[15] = 7
|
||
serial[12] = 3
|
||
42893724579039578812
|
||
$ python harder_serial.py 42893724579039578812
|
||
Please enter a valid serial number from your RoboCorpIntergalactic purchase
|
||
#>42893724579039578812<#
|
||
Thank you! Your product has been verified!
|
||
```
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||
这一题简直是为 Z3 量身定做的，方法也很简单，但 Z3 远比这个强大，后面我们还会讲到它更高级的应用。
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## 参考资料
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- [Z3一把梭：用约束求解搞定一类CTF题](https://zhuanlan.zhihu.com/p/30548907)
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||
- [Z3 API in Python](https://ericpony.github.io/z3py-tutorial/guide-examples.htm)
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||
- [z3py API](http://z3prover.github.io/api/html/index.html)
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||
- [Getting Started with Z3: A Guide](https://rise4fun.com/z3/tutorialcontent/guide)
|
||
- [Wiki](https://github.com/Z3Prover/z3/wiki)
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